常見的共同基金評等方法以及FundRay評等法介紹 (下)

為了進一步解決資料窺探偏誤，自White (2000)後開始了一連串計量領域中檢定方法的新突破。White (2000)提出了真實性檢定(Reality Check)，對於被檢定的模型(基金)個數過多時，可以用來檢定樣本模型(基金)中最佳模型(基金)的績效是否勝過基準模型(指標)。Hansen (2005)認為真實性檢定容易因為加入一些不具解釋力的模型，而降低檢定能力，所以利用除去一些不具解釋能力模型的方法來提高檢定能力，改良成卓越預測能力檢定法(test for superior predictive ability，簡稱SPA test)。

然而，真實性檢定及卓越預測能力檢定法都只能針對樣本模型(基金)中最好的模型(基金)是否能優於基準模型(指標)作檢定，無法針對所有模型(基金)作檢定，因此Romano and Wolf (2005)提出逐步真實性檢定 (Stepwise Reality Check)，在個別的虛無假設為模型(基金)績效無法優於基準模型(指標)之下，控制族系誤差率 (Familywise Error Rate, 簡稱FWER)為α (=5%)水準下，逐步挑出所有可以拒絕虛無假設的模型(基金)，其中FWER的定義為: 錯誤的拒絕至少一個虛無假設的機率。

但是逐步真實性檢定是延續真實性檢定發展出來的方法，所以對於加入一些不具解釋力的模型會有一樣的問題產生，因此Hsu, Hsu, and Kuan (2010) 提出了逐步卓越預測能力檢定法(stepwise test for superior predictive ability, 簡稱 Stepwise SPA test)，一來可以挑出所有可以拒絕虛無假設的模型，二來也修正了真實性檢定會有降低檢定能力的問題。然而，無論是Stepwise Reality Check或Stepwise SPA test，控制FWER為5%的設定都過於嚴謹，在實證應用上，常發現無法挑選出能顯著優於基準指標的基金，例如莊惠菁與管中閔(2010, 證券市場發展季刊)。故Romano and Wolf (2007, Annals of Statistics) 和Hsu, Kuan, and Yen (2014, Journal of Financial Econometrics)將FWER 一般化為k-FWER (即錯誤的拒絕至少k個虛無假設的機率，其中k >=1)，並分別提高了Stepwise Reality Check 和Stepwise SPA test的檢定力，讓更多具有擊敗基準指標的基金能被檢定出來。Romano and Wolf (2007) 所提出的方法稱為generalized Stepwise Reality Check (簡稱generalized SRC)，而Hsu, Kuan, and Yen (2014)所提出的方法稱為generalized stepwise test for superior predictive ability(簡稱為generalized SSPA test)。

FundRay－絕對式績效基金評等法

       

因generalized SSPA test比generalized SRC的檢定力較高，故FundRay依據前者發展出所謂的「絕對績效評等法」，我們假設某一類別的基金總數為N，則透過設定k-FWER (k-family-wise error rate，即於N檔基金中，控制錯誤拒絕至少k個虛無假說的機率，通常設定為0.05)和N的比值，即k/N，分別為k/N<=5%，5%<k/N<=10%，10%<k/N<=15%，15%<k/N<=20%和20%<k/N<=25%對應到5隻牛、四隻牛、三隻牛、兩隻牛和一隻牛。若連放寬到20%<k/N<=25%都無法通過上述的一般化逐步卓越預測能力檢定，則列入一隻熊。

此一方法不僅可用於共同基金，亦可用於避險基金和CTA的評等。此種方法遇到市場反轉向下時，常常出現所有基金都無法被檢定為能擊敗基準指標的狀況，也因此可以幫助投資人避掉市場反轉向下的下檔風險。

FundRay首席顧問 顏盟峯

常見的共同基金評等方法以及FundRay評等法介紹 (中)

資料窺探偏誤

看過上文後相信讀者都很好奇：何謂資料窺探偏誤? 筆者以基金績效的檢定為背景來做說明。如果我們將虛無假設設定為「個別基金過去一段時間的績效不如相對應的基準指標」(如果以全球區股票型基金為例：即為全球區股票型基金vs.相對應市場的基準指標－MSCI世界指數)，則傳統的檢定方式則是針對該檔基金和基準指標過去的報酬率時間數列，在某一顯著水準之下(通常設定為5%)作檢定(譬如，以t-test 檢定基金過去三年的平均月報酬是否和基準指標有顯著差異)。因為在只有一檔基金的情況下，所以錯誤拒絕虛無假設的機率為5%。但是若基金數量擴增為100檔且個別檢定統計量彼此之間為互相獨立時，則至少發生一次誤判的機率會大幅提高到99.4% (=1-0.95¹⁰⁰≈0.994)。換句話說，在基金檔數眾多之下，要找到至少一檔能顯著優於基準指標的基金並非難事，然而，該檔基金卻是因為統計上的誤判而被挑出，此現象在計量經濟的文獻上被稱作資料窺探偏誤。

傳統共同基金的績效檢定無法避免資料窺探偏誤

       

在共同基金的領域，不同基金的表現並非互相獨立，因為基金經理人可能有從眾行為或是可能投資於相同的金融產品。加上同一子類別之下的基金數目，即使在刪除每檔基金不同的投資級別[1]之後，超過100檔以上的狀況比比皆是(特別是股票型基金)，使得共同基金的傳統績效檢定方法無法倖免於資料窺探偏誤，其產出的統計推論也因此可能誤導投資人。

過去研究如何解決資料窺探偏誤

       

過去的研究要解決資料窺探偏誤主要採取兩個方向：

一、採用不同但是可比較的資料樣本測試一個模型，以避免重複使用相同的資料樣本，例如Chen, Jegadeesh and Wermers (2000, Journal of Financial and Quantitative Analysis)，但問題是金融市場中少有相似且可以互相比較的商品。

另一種作法是將長期的樣本拆開成為幾個不同的子期間樣本，然後再測試相同模型在不同子期間的成果，例如Brock, Josef and Blake (1992, Journal of Finance)，但問題是如何取決分割的時點?因為若沒有客觀的切割標準，這樣會產生有主觀上的問題。

        二、改進利用邦弗朗尼不等式(Bonferroni Inequality)來比較所有可能的模型。當我們利用邦弗朗尼不等式的方法聯合檢定所有的虛無假說，即基金都無法擊敗系統風險的基準投資組合(H_O，為第s檔基金的對於基準指標的相對績效，例如平均月報酬的差異)，並正確的控制檢定規模 (test size，即型Ｉ誤差)。但此法在基金很多的時候無法使用，因為即使有任何基金真的具有異常報酬，在聯合檢定之下，用此方法會使得檢定規模從單一虛無假說的5%變成，其中N為基金數。當N很大時，聯合檢定的顯著水準會趨近於零。也就是說，檢定統計量的臨界值會變得很大，使得拒絕任何一個虛無假說的機率也近乎於零。

說明至此，可知資料窺探偏誤仍存在於共同基金的績效檢定當中。下一篇文章，筆者會詳細說明FundRay絕對績效基金評等法如何解決該問題。

FundRay首席顧問 顏盟峯

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[1]在常見的情況中，即便是同一檔基金，基金公司會因應申購手續費的方案不同而分成Ａ股、Ｂ股、或Ｃ股等等讓投資人進行選擇，稱為不同投資級別的基金，因每家基金發行公司的定義都有些許不同，因此不同級別的基金所代表的意涵須參見各檔基金的申購說明書才能確知。

常見的共同基金評等方法以及FundRay評等法介紹 (上)

目前共同基金的績效評比方式主要有國外的晨星五星等評級法和理柏的五等級評級法，以及國內的李存修-邱顯比「四四三三」法則和基智網的評等法(1-5, 間距為0.5)。

      然而，上述所有的評等方法都採相對評等邏輯，因為在同一基金類別之下，被評等的每檔基金都會取得高低不同的評級。當市場處於熊市時，即便真實績效不如基準指標，然只要依照各評等公式，排序在前面的基金仍然會取得較高的評級，如5或4。反之，當市場處於牛市時，排序在後面的基金即便績效優於基準指標，仍然會落入評級1或2的窘境。上述即為相對評等法的主要缺點。

      所以，當某一類別的金融市場處於明顯的多頭或空頭趨勢時，相對評等法恐怕會誤導投資人的投資決策，投資人不可不慎。上述這些相對評等法的主要功能應該只是用來辨別基金彼此間過去的績效差異，而非用來當作投資組合的決策參考。

筆者今天要介紹一種新的評等方式，FundRay 絕對績效評等法。此方法不僅提出一種迥異於相對評等的邏輯，經筆者過去多年的研究和產學合作經驗，也證明此法應用在避險基金、共同基金和CTA(管理期貨基金)上，不僅可以因為全部基金無法通過檢定而避掉市場大幅回落的風險，另外，針對過去一段時間的績效，被此評等法認定為最優的基金投組，它們在未來也具有顯著的績效持續性[i]。

FundRay的絕對績效評等法乃基於2014年發表於Journal of Financial Econometrics的一篇文章中所提出的一般化逐步卓越預測能力檢定法 (a generalized stepwise test for superior predictive ability test，簡稱generalized SSPA test)[ii]所建構，下一篇文章中將會幫助讀者建立基礎的統計概念，再介紹上述檢定法，以及FundRay評等法。基金產業專家或研究基金的學者除了採取上述介紹的相對評等法來評斷基金相對表現之外，有些人也會利用基金經理人或基金公司的特徵變數來預測一檔基金未來的表現，譬如經理人從事基金操作的年資、經理人的學歷、性別、過往操作該檔基金或其他基金的績效、基金的管理資產規模、上半年的績效、基金過去一段時間的申贖造成的淨資金流量、所屬基金家族的總資產規模、基金家族是否有明星基金等等，我們稱此法為事前分析(ex-ante analysis)。

此外，自2000年已故計量學者H. White博士提出真實性檢定法(Reality Check)來控制資料窺探偏誤以來，過去這十幾年，計量學者如Hansen (2005, Journal of Business Economic and Statistics)、Romano and Wolf (2005, Econometrica)、Romano and Wolf (2007, Annals of Statistics)、Hsu, Hsu, and Kuan (2010, Journal of Empirical Finance)一直到Hsu, Kuan, and Yen (2014, Journal of Financial Econometrics)，都著墨於如何在控制資料窺探偏誤(data-snooping bias)時，同時能提高檢定能力。而上述這些方法都可謂是學界針對統計上的多重檢定(multiple hypotheses test)，所貢獻的智慧結晶。只是恰巧，基金績效的檢定非常適合採用上述這些多重檢定法。下篇文章中筆者將會進一步解釋何謂資料「窺探偏誤」，有了簡單的統計知識及背景後，將更容易了解FundRay 評等法是如何將其技術應用於共同基金的檢定。

                                                                            FundRay首席顧問 顏盟峯

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[i] 針對CTA的應用，請參考 Hsu, Kuan, and Yen (2014, Journal of Financial Econometrics)，針對避險基金的應用，請參考 Hsu, Kuan, and Yen (Ch21, Reconsidering the Funds of Hedge Funds: The Financial Cirsis and Best Practices in UCITS, Tail Risk, Performance, and Due Diligence. 2013, Ed. by Greg N. Gregoriou)。針對共同基金的應用，因受限於產學合約保密協定，不便在此揭露細節。

[ii] Hsu, Kuan, and Yen (2014, Journal of Financial Econometrics)