常見的共同基金評等方法以及FundRay評等法介紹 (下)

為了進一步解決資料窺探偏誤，自White (2000)後開始了一連串計量領域中檢定方法的新突破。White (2000)提出了真實性檢定(Reality Check)，對於被檢定的模型(基金)個數過多時，可以用來檢定樣本模型(基金)中最佳模型(基金)的績效是否勝過基準模型(指標)。Hansen (2005)認為真實性檢定容易因為加入一些不具解釋力的模型，而降低檢定能力，所以利用除去一些不具解釋能力模型的方法來提高檢定能力，改良成卓越預測能力檢定法(test for superior predictive ability，簡稱SPA test)。

然而，真實性檢定及卓越預測能力檢定法都只能針對樣本模型(基金)中最好的模型(基金)是否能優於基準模型(指標)作檢定，無法針對所有模型(基金)作檢定，因此Romano and Wolf (2005)提出逐步真實性檢定 (Stepwise Reality Check)，在個別的虛無假設為模型(基金)績效無法優於基準模型(指標)之下，控制族系誤差率 (Familywise Error Rate, 簡稱FWER)為α (=5%)水準下，逐步挑出所有可以拒絕虛無假設的模型(基金)，其中FWER的定義為: 錯誤的拒絕至少一個虛無假設的機率。

但是逐步真實性檢定是延續真實性檢定發展出來的方法，所以對於加入一些不具解釋力的模型會有一樣的問題產生，因此Hsu, Hsu, and Kuan (2010) 提出了逐步卓越預測能力檢定法(stepwise test for superior predictive ability, 簡稱 Stepwise SPA test)，一來可以挑出所有可以拒絕虛無假設的模型，二來也修正了真實性檢定會有降低檢定能力的問題。然而，無論是Stepwise Reality Check或Stepwise SPA test，控制FWER為5%的設定都過於嚴謹，在實證應用上，常發現無法挑選出能顯著優於基準指標的基金，例如莊惠菁與管中閔(2010, 證券市場發展季刊)。故Romano and Wolf (2007, Annals of Statistics) 和Hsu, Kuan, and Yen (2014, Journal of Financial Econometrics)將FWER 一般化為k-FWER (即錯誤的拒絕至少k個虛無假設的機率，其中k >=1)，並分別提高了Stepwise Reality Check 和Stepwise SPA test的檢定力，讓更多具有擊敗基準指標的基金能被檢定出來。Romano and Wolf (2007) 所提出的方法稱為generalized Stepwise Reality Check (簡稱generalized SRC)，而Hsu, Kuan, and Yen (2014)所提出的方法稱為generalized stepwise test for superior predictive ability(簡稱為generalized SSPA test)。

FundRay－絕對式績效基金評等法

       

因generalized SSPA test比generalized SRC的檢定力較高，故FundRay依據前者發展出所謂的「絕對績效評等法」，我們假設某一類別的基金總數為N，則透過設定k-FWER (k-family-wise error rate，即於N檔基金中，控制錯誤拒絕至少k個虛無假說的機率，通常設定為0.05)和N的比值，即k/N，分別為k/N<=5%，5%<k/N<=10%，10%<k/N<=15%，15%<k/N<=20%和20%<k/N<=25%對應到5隻牛、四隻牛、三隻牛、兩隻牛和一隻牛。若連放寬到20%<k/N<=25%都無法通過上述的一般化逐步卓越預測能力檢定，則列入一隻熊。

此一方法不僅可用於共同基金，亦可用於避險基金和CTA的評等。此種方法遇到市場反轉向下時，常常出現所有基金都無法被檢定為能擊敗基準指標的狀況，也因此可以幫助投資人避掉市場反轉向下的下檔風險。

FundRay首席顧問 顏盟峯

常見的共同基金評等方法以及FundRay評等法介紹 (中)

資料窺探偏誤

看過上文後相信讀者都很好奇：何謂資料窺探偏誤? 筆者以基金績效的檢定為背景來做說明。如果我們將虛無假設設定為「個別基金過去一段時間的績效不如相對應的基準指標」(如果以全球區股票型基金為例：即為全球區股票型基金vs.相對應市場的基準指標－MSCI世界指數)，則傳統的檢定方式則是針對該檔基金和基準指標過去的報酬率時間數列，在某一顯著水準之下(通常設定為5%)作檢定(譬如，以t-test 檢定基金過去三年的平均月報酬是否和基準指標有顯著差異)。因為在只有一檔基金的情況下，所以錯誤拒絕虛無假設的機率為5%。但是若基金數量擴增為100檔且個別檢定統計量彼此之間為互相獨立時，則至少發生一次誤判的機率會大幅提高到99.4% (=1-0.95¹⁰⁰≈0.994)。換句話說，在基金檔數眾多之下，要找到至少一檔能顯著優於基準指標的基金並非難事，然而，該檔基金卻是因為統計上的誤判而被挑出，此現象在計量經濟的文獻上被稱作資料窺探偏誤。

傳統共同基金的績效檢定無法避免資料窺探偏誤

       

在共同基金的領域，不同基金的表現並非互相獨立，因為基金經理人可能有從眾行為或是可能投資於相同的金融產品。加上同一子類別之下的基金數目，即使在刪除每檔基金不同的投資級別[1]之後，超過100檔以上的狀況比比皆是(特別是股票型基金)，使得共同基金的傳統績效檢定方法無法倖免於資料窺探偏誤，其產出的統計推論也因此可能誤導投資人。

過去研究如何解決資料窺探偏誤

       

過去的研究要解決資料窺探偏誤主要採取兩個方向：

一、採用不同但是可比較的資料樣本測試一個模型，以避免重複使用相同的資料樣本，例如Chen, Jegadeesh and Wermers (2000, Journal of Financial and Quantitative Analysis)，但問題是金融市場中少有相似且可以互相比較的商品。

另一種作法是將長期的樣本拆開成為幾個不同的子期間樣本，然後再測試相同模型在不同子期間的成果，例如Brock, Josef and Blake (1992, Journal of Finance)，但問題是如何取決分割的時點?因為若沒有客觀的切割標準，這樣會產生有主觀上的問題。

        二、改進利用邦弗朗尼不等式(Bonferroni Inequality)來比較所有可能的模型。當我們利用邦弗朗尼不等式的方法聯合檢定所有的虛無假說，即基金都無法擊敗系統風險的基準投資組合(H_O，為第s檔基金的對於基準指標的相對績效，例如平均月報酬的差異)，並正確的控制檢定規模 (test size，即型Ｉ誤差)。但此法在基金很多的時候無法使用，因為即使有任何基金真的具有異常報酬，在聯合檢定之下，用此方法會使得檢定規模從單一虛無假說的5%變成，其中N為基金數。當N很大時，聯合檢定的顯著水準會趨近於零。也就是說，檢定統計量的臨界值會變得很大，使得拒絕任何一個虛無假說的機率也近乎於零。

說明至此，可知資料窺探偏誤仍存在於共同基金的績效檢定當中。下一篇文章，筆者會詳細說明FundRay絕對績效基金評等法如何解決該問題。

FundRay首席顧問 顏盟峯

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[1]在常見的情況中，即便是同一檔基金，基金公司會因應申購手續費的方案不同而分成Ａ股、Ｂ股、或Ｃ股等等讓投資人進行選擇，稱為不同投資級別的基金，因每家基金發行公司的定義都有些許不同，因此不同級別的基金所代表的意涵須參見各檔基金的申購說明書才能確知。